1.1 乘子的符号为什么这样选？

固定一个原可行点 ，因为 ，所以 ；等式项则为零。因此

这保证我们在构造最小化问题的下界。符号来自这个不等式，而不是约定俗成的口诀。

还可以更进一步。对固定的 ，

理由是：如果某个 ，令对应 ；如果某个 ，令自由乘子沿相应符号无限增大。对可行点，取 就达到上确界 。

因此原问题可以精确地写成

1.2 对调优化顺序，得到最好的拉格朗日下界

先固定乘子，定义对偶函数

对于任意原可行点 ，

所以每一组合法乘子都给出一个下界。尽量提高这个下界，得到拉格朗日对偶问题：

式 (1) 和式 (2) 的差别，正是 与 的顺序。一般只能证明后者不超过前者；若两者相等，才叫强对偶。不能在推导中无条件交换这两个运算。

2.1 第一步：说明为什么可以逐分量处理

定义域是笛卡尔积 ，目标也是各坐标的和，没有任何跨坐标的耦合约束。因此

这里每个分量的下确界只能是 或 ，不会出现不定的 。这一步依赖可分离结构；若保留了耦合约束，就不能这样拆。

2.2 第二步：把一维问题完整分类

对 ：

• ：，唯一极小点为 ，最优值是 。
• ：所有 都是极小点，最优值仍是 。
• ：取 ，则 ，问题无下界，没有有限极小点。

因此

代回式 (3)：

只要一个系数为负，沿对应的坐标射线就能把内层值降到负无穷；全部非负时， 就达到零。我们精确确定的是内层最优值；内层最优解未必唯一。

2.3 第三步：把有效定义域写成对偶约束

原可行集非空时，产生 的乘子无法给出有用下界；即使原问题不可行，对偶函数式 (4) 仍然成立。将有效定义域显式写出，得到

严格来说，对偶首先由 定义；写作这个 LP 后，若最优值有限且可行，则最优值可以达到。

每一条原约束对应一个乘子；每一个原变量对应一次内层有界性检查。 出现，是因为第 个原变量的系数为 。

3.1 定义域决定有限性的条件

同样是线性项 ，内层定义域一变，答案就变：

所以原变量自由时，对偶约束是等式；原变量非正时，不等式方向反过来。这些都来自同一个有限性计算。

若 被限制在有限区间 ，则

这时无论 的符号如何，下确界都有限。保留盒约束会得到分段线性的对偶函数，不必再强加 。“对偶约束来自内层有界性”必须连同具体定义域一起理解。

3.2 边界最优不能套用无约束驻点条件

对于 ，正确的最优性条件是

并不是所有分量都要满足 。当 时， 是合法的边界最优解。

在几何上，有限性要求 属于非负锥的对偶锥：

更一般地，若保留的定义域是锥 ，则 在 时为零，否则沿某条锥内射线降到负无穷。这说明 LP 的符号条件也是锥对偶的一个特例。

4.1 弱对偶：一个可检查的下界证书

对任意原可行 和对偶可行 ，

因此，原可行解给出最小化问题的上界，对偶可行解给出下界。只要上下界相等，就得到了最优性证书，无需知道求解器如何找到这些解。

这是精确算法中非常实用的性质：一个启发式方法可以产生好解，但要证明“已经足够好”或“就是最优”，还需要一个有效的界。

4.2 对偶函数总是凹的，但不一定容易优化

对一般拉格朗日函数，固定 后， 关于乘子是仿射函数。仿射函数族的逐点下确界是凹函数。因此 总是凹的，即使原问题非凸。

这不意味着非凸原问题突然变容易了：计算 的内层问题可能很难，也可能有严格的对偶间隙。LP 的优势是我们能显式计算内层，最后的对偶仍然是一个 LP。

4.3 强对偶与最优值可达

对于有限维 LP，只要 (P) 可行且 有限，则 (P)、(D) 都有最优解，并且

这里不额外要求存在严格满足全部不等式的点。LP 的可行域是多面体，有限生成锥的闭性使分离论证能够给出精确的乘子证书。一般凸规划的常见充分条件是 Slater 条件，不能把它误写成所有 LP 都必须满足的前提。

例如约束 、 把可行集压成 ，不存在同时严格满足这两条不等式的点，但有限目标下 LP 强对偶仍成立。

下面给出这一结论中“为什么存在精确乘子”的证明。

5.1 如果目标方向不在这个锥里，就能找到下降方向

反设 。因为有限生成锥闭且凸，锥分离定理给出方向 ，使得

前两组条件保证：从 沿 走一小步，不会破坏已经取等号的约束。其他约束具有正的松弛，且数量有限，所以存在充分小的 ，使 仍然可行。

但它的目标值为

与最优性矛盾。因此 。

5.2 锥表示直接给出对偶解

于是存在 和 ，分别只在 、 上可能非零，使得

因此 ， 对偶可行。根据乘子支撑的位置，还有

所以

我们不仅证明值相等，还构造性地证明了某个对偶最优乘子的存在。这里的逻辑是多面体最优性 → 锥分离 → 乘子表示 → 零间隙，没有把最小化和最大化顺序直接交换。MIT 一阶最优性讲义 也从法锥与最优性条件讨论这一联系。

8.1 分支定界：用可行对偶乘子证明一个节点不值得继续

对于最小化整数规划，节点 LP 松弛的任意对偶可行解提供节点下界 ，当前整数可行解提供上界 。若 ，该节点不可能改善当前最好目标值，可以剪枝。实际浮点求解还要结合可行性与最优性容差。

但零间隙只发生在 LP 原、对偶之间。例如整数问题

最优值为 ；它的 LP 松弛最优值为 ，对应对偶 的最优值也是 。LP 强对偶没有消除整数性间隙。

8.2 灵敏度：乘子是价值函数的次梯度

固定 ，把右端向量视为参数。对原、对偶可行且有限的情形，

因此 是关于 的凸分段线性函数。若 在 处最优，那么对另一个有限可行的右端 ，

若同一个 在扰动后仍然最优，上式取等号。若 可微，乘子给出相应的梯度；若不可微，不能把某个乘子无条件当成唯一的边际价格。

8.3 对偶的对偶回到原 LP

把 (D) 视为标准的“最大化、 约束、非负变量”形式，再求一次对偶，就得到 、、。这是形式上的对称性；它与强对偶是不同的陈述，后者还涉及可行性和最优值。

推导一个新问题时，最值得先写清楚的是：哪些约束进入乘子项、哪些留在定义域，内层是否真的可分，以及内层有限性的充要条件是什么。对 LP 而言，这些问题的答案共同决定了整个对偶模型。